תוכן עניינים:
- הגדרת אינטגרל משטחי מסוג שני
- מציאת הנורמל
- התאמת האינטגרל לפי משתנים שונים
- שימושים לאינטגרל משטחי מסוג שני
- טיפים חשובים
הגדרת אינטגרל משטחי מסוג שני
יהי S משטח חלק דו-צדדי ויהי
\hat{n}
נורמל (יחידה) ל-S. יהי
\vec{F}=P\hat{i}+Q\hat{j}+R\hat{k}
שדה וקטורי רציף המוגדר על כל המשטח. אז מתקיים:
\iint_S\vec{F}\cdot\hat{n}ds=\iint_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
אם S נתון בהצגה הפרמטרית:
\vec{r}(u,v)=x(u,v)\vec{i}+y(u,v)\vec{j}+z(u,v)\vec{k}
כאשר הפונקציות x,y,z בעלות נגזרות חלקיות רציפות בתחום D, אז מתקיים:
\iint_S\vec{F}\cdot\hat{n}ds=\iint_D\vec{F}\cdot\hat{n}\cdot \sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy
אם המשטח S מוגדר באופן מפורש
z=z(x,y)
עבור
x,y\in D
אז מתקיים:
\iint_S\vec{F}\cdot\hat{n}ds=\iint_D\frac{\vec{F}\cdot\hat{n}\cdot dxdy}{|\hat{n}\cdot\hat{k}|}
מציאת הנורמל
כאשר S נתון בהצגה פרמטרית, נמצא את הנורמל כך:
\hat{n}=\frac{\vec{r}'_u\times\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_u\times\vec{r}'_v|}
כאשר S נתון בהצגה קרטזית, נמצא את הנורמל כך:
\hat{n}=\frac{\nabla{f}}{|\nabla{f}|}
התאמת האינטגרל לפי משתנים שונים
אפשר להתאים את הנוסחאות ולחשב את האינטגרל המשטחי לפי משתנים אחרים כך:
\iint_S\vec{F}\cdot\hat{n}ds=\iint_D\vec{F}\cdot\hat{n}\cdot \sqrt{1+(y'_x)^2+(y'_z)^2}dxdz=
=\iint_D\frac{\vec{F}\cdot\hat{n}\cdot dxdz}{|\hat{n}\cdot\hat{j}|}
\iint_S\vec{F}\cdot\hat{n}ds=\iint_D\vec{F}\cdot\hat{n}\cdot \sqrt{1+(x'_y)^2+(x'_z)^2}dydz
=\iint_D\frac{\vec{F}\cdot\hat{n}\cdot dydz}{|\hat{n}\cdot\hat{i}|}
שימושים לאינטגרל משטחי מסוג שני
אם
\vec{F}
מסמן זרימת נוזל במרחב, אז האינטגרל
\iint_S\vec{F}\cdot\hat{n}ds
מסמן את כמות הנוזל העובר דרך המשטח S ביחידת זמן. לכן, האינטגרל נקרא גם שטף של שדה וקטורי F דרך S.
טיפים חשובים
- כאשר מבקשים לחשב שטף של שדה וקטורי, תחשבו על אינטגרל משטחי מסוג שני ותזכרו את הקיצור שלו Fnds.
- זכרו תמיד להשתמש בנורמל יחידה בנוסחאות. תנרמלו אותו לפני שתציבו אותו בנוסחה.
- כאשר מבקשים לחשב אינטגרל משטחי מסוג שני על משטח סגור, תשתמשו במשפט גאוס ותעברו לחישוב אינטגרל משולש.
- כאשר המשטח מוטה על ציר y או ציר z (ולא ציר x), תעברו לחשב את האינטגרל לפי המשתנים המתאימים (הסתכלו בהתאמה לעיל). כך תקבלו אינטגרל קל יותר לחישוב.
לחצו כאן לתרגילים ופתרונות בנושא אינטגרל משטחי מסוג שני
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
