כאשר נתונה לנו משוואה ריבועית:
ax^2+bx+c=0, a\neq 0
הערה: כאשר a=0 האיבר הריבועי הוא לאפס, ונשארים עם המשוואה bx+c=0 שהיא משוואה לינארית של קו ישר. לכן, דורשים ש-a יהיה שונה מאפס.
הנקודות שבהן הגרף חותך את ציר x נקראות שורשים או אפסים או פתרונות של המשוואה הריבועית, ואפשר למצוא אותם בקלות בעזרת נוסחת השורשים הזו:
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
נוסחת השורשים להורדה:
כדי להקל על החישוב, בדרך כלל מגדירים:
\Delta=b^2-4ac
ומקבלים:
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}
ואז קל לראות מהנוסחה שיש שלוש אפשרויות:
1. למשוואה יש 2 שורשים כאשר מתקיים:
\Delta>0
במקרה כזה, הגרף חוצה את ציר x פעמיים.
הערה: מכיוון שבנוסחה דלתא נמצא בתוך שורש, ואם הביטוי בתוך השורש גדול ממש מאפס, אז מקבלים שתי אפשרויות לפתרון השורש – אז מקבלים שני פתרונות לנוסחה לעיל.
דוגמה
נמצא את השורשים של המשוואה:
x^2-7x+10=0
מקדמי האיברים במשוואה הם
a=1, b=-7, c=10
כעת, יהיה לנו קל להציב את המקדמים בנוסחה של דלתא. נציב ונקבל:
\Delta=b^2-4ac=
= {(-7)}^2-4\cdot 1 \cdot 10=
49-40=9>0
קיבלנו תוצאה גדולה ממש מאפס, ולכן יש למשוואה 2 שורשים (=הגרף שלה חוצה את ציר x פעמיים).
נמצא את השורשים בעזרת נוסחת השורשים. נציב את התוצאה בנוסחה ונקבל:
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=
=\frac{7\pm\sqrt{9}}{2\cdot 1}=
=\frac{7\pm 3}{2}=
מכיוון שיש לנו בנוסחה סימן שהוא גם מינוס וגם פלוס, נפרק את המשוואה לשני מקרים ונקבל:
x_1=\frac{7+ 3}{2}=5
x_2=\frac{7- 3}{2}=2
קיבלנו ששורשי המשוואה הם 5,2. כלומר, הגרף חוצה את ציר x כאשר x=5 וכאשר x=2.
2. למשוואה יש שורש אחד כאשר מתקיים:
\Delta=0
במקרה כזה, הגרף חוצה את ציר x בדיוק פעם אחת.
הערה: מכיוון שבנוסחה דלתא נמצא בתוך שורש ושורש אפס שווה לאפס, מקבלים שלנוסחה לעיל יש רק פתרון אחד.
דוגמה
נמצא את השורשים של המשוואה:
x^2-4x+4=0
מקדמי האיברים במשוואה הם
a=1, b=-4, c=4
כעת, יהיה לנו קל להציב את המקדמים בנוסחה של דלתא. נציב ונקבל:
\Delta=b^2-4ac=
= {(-4)}^2-4\cdot 1 \cdot 4=
16-16=0
קיבלנו תוצאה שווה לאפס, ולכן יש למשוואה שורש אחד (=הגרף שלה חוצה את ציר x פעם אחת).
נמצא את השורש בעזרת נוסחת השורשים. נציב את התוצאה בנוסחה ונקבל:
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=
=\frac{4\pm\sqrt{0}}{2\cdot 1}=
=\frac{4\pm 0}{2}=
=\frac{4}{2}=2
קיבלנו שהשורש היחיד של המשוואה הוא 2. כלומר, הגרף חוצה את ציר x כאשר x=2.
3. למשוואה אין שורשים ממשיים כאשר מתקיים:
\Delta<0
במקרה כזה, הגרף לא חוצה את ציר x כלל.
הערה: מכיוון שבנוסחה דלתא נמצא בתוך שורש וביטויים בתוך שורש חייבים להיות חיוביים (במספרים ממשיים), אז מקבלים שאם הוא קטן מאפס – אין פתרון.
דוגמה
נמצא את השורשים של המשוואה:
x^2-5x+8=0
מקדמי האיברים במשוואה הם
a=1, b=-5, c=8
כעת, יהיה לנו קל להציב את המקדמים בנוסחה של דלתא. נציב ונקבל:
\Delta=b^2-4ac=
= {(-5)}^2-4\cdot 1 \cdot 8=
25-32=-7<0
קיבלנו תוצאה קטנה מאפס, ולכן אין למשוואה שורשים (=הגרף שלה אינו חוצה את ציר x כלל).
אם ננסה בכל זאת למצוא את השורשים בעזרת נוסחת השורשים, הצבת התוצאה בנוסחה תיתן:
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=
=\frac{5\pm\sqrt{-7}}{2\cdot 1}=
קיבלנו מספר שלילי בתוך שורש, ולכן אין למשוואה פתרון כפי שצפינו.
תכונה של שורשי משוואה ריבועית
כדאי לדעת שהשורשים של משוואה ריבועית מקיימים גם את הנוסחאות האלה:
x_1+x_2=-\frac{b}{a}
x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}
תכונה זו יכולה לעזור לכם לבדוק אם מצאתם את השורשים הנכונים בקלות ובמהירות. פשוט תציבו את השורשים שמצאתם ואת מקדמי המשוואה ותראו אם הנוסחאות מתקיימות.
כמו כן, בעזרת השורשים אפשר לפרק את המשוואה הריבועית לגורמים כך:
ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)
הערה חשובה: זכרו לא לשכוח לכפול גם ב-a. זו טעות נפוצה להשמיט את a בפירוק.
מחשבון נוסחת השורשים
פתרון:
לחצו כאן למחשבונים נוספים של נוסחת השורשים
לחצו כאן לתרגילים ופתרונות בנושא פתירת משוואות
לחצו כאן לתרגילים ופתרונות המשתמשים בנוסחת השורשים בפתרון
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
