הגדרת פונקציה קעורה
פונקציה נקראת קעורה אם לכל x ולכל y, מתקיים:
f((1-t)x+ty)\geq (1-t)f(x)+tf(y)
עבור t המקיים:
t\in [a,b]
כאשר
t=\frac{1}{2}
מקבלים את האי-שוויון:
f(\frac{x+y}{2})\geq\frac{f(x)+f(y)}{2}
הערה: אי-שוויון זה עוזר בהוכחת אי-שוויונים של פונקציות.
כמו כן, שימו לב שפונקציה קעורה היא גם פונקציה המקיימת
f''(x)<0
הערה: פונקציה קעורה היא פונקציה שהגרף שלה מעוגל כלפי מעלה, כמו קערה הפוכה.
הגדרת פונקציה קמורה
פונקציה נקראת קמורה אם לכל x ולכל y, מתקיים:
f((1-t)x+ty)\leq (1-t)f(x)+tf(y)
עבור t המקיים:
t\in [a,b]
כאשר
t=\frac{1}{2}
מקבלים את האי-שוויון:
f(\frac{x+y}{2})\leq\frac{f(x)+f(y)}{2}
הערה: אי-שוויון זה עוזר בהוכחת אי-שוויונים של פונקציות.
כמו כן, שימו לב שפונקציה קמורה היא גם פונקציה המקיימת
f''(x)>0
הערה: פונקציה קמורה היא פונקציה שהגרף שלה מעוגל כלפי מטה, כמו קערה.
הערות נוספות:
- לפי משפט זה מחשבים את תחומי הקמירות והקעירות של פונקציה בחקירת פונקציה. לחצו כאן לתרגילים ופתרונות של חקירת פונקציה
- המשפט עוזר בהוכחת אי-שוויונים של פונקציות. לחצו כאן להוכחות המשתמשות בהגדרות אלו
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
