קירוב לינארי בשני משתנים – משתנים בבסיס ובחזקה – תרגיל 3390

תרגיל 

חשבו בקירוב

$1.02^{4.05}$

תשובה סופית

הצגת תשובה סופית

פתרון מפורט

נשתמש בנוסחת הקירוב הלינארי:

$f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)$

לשם כך, נצטרך להגדיר את

$x, y, x_0, y_0,f(x)$

ולהציב אותם בנוסחה. x,y יהיו המספרים הנתונים בביטוי בשאלה, ואילו הנקודות

$x_0,y_0$

יהיו נקודות הקרובות ל-x,y בהתאמה, שאנו מזהים שייתנו ביטוי קל לחישוב. בתרגיל שלנו, נגדיר

$x=1.02, y=4.05$

כי אלה המספרים המופיעים בשאלה. ונבחר 

$x_0=1, y_0=4$

 כי אלה השלמים הכי קרובים ל-x,y.

אחרי שהגדרנו את x,y, קל למצוא את הפונקציה. פשוט שמים x במקום המספר שקבענו להיות x ושמים y במקום המספר שקבענו להיות y:

$f(x,y)=x^y$

בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:

$f'_x(x,y)=yx^{y-1}$

$f'_y(x,y)=x^y\ln x$

נציב את כל הנתונים בנוסחה ונקבל:

$f(1.02,4.05)\approx f(1,4)+f'_x(1,4)\cdot(1.02-1)+f'_y(1,4)\cdot(4.05-4)=$

$=1^4+4\cdot 1^3\cdot 0.02+1^4\ln 1\cdot 0.05=$

$=1+4\cdot 0.02+1\cdot 0\cdot 0.05=$

$=1+0.08+0=$

$=1.08$

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות