קיצון מקומי – פונקציה עם משתנים בבסיס וחזקות קבועות – תרגיל 3410

תרגיל 

מצאו את נקודות הקיצון (אקסטרמום) המקומיות של הפונקציה:

$z(x,y)=x^2-(y-1)^2$

תשובה סופית

הצגת תשובה סופית

פתרון מפורט

נתונה הפונקציה

$z(x,y)=x^2-(y-1)^2$

נחשב את הנגזרות החלקיות ונשווה אותן לאפס:

$z'_x(x,y)=2x=0$

$z'_y(x,y)=-2(y-1)=0$

קיבלנו מערכת משוואות:

$2x=0$

$-2(y-1)=0$

נפתור אותה. מהמשוואה הראשונה מקבלים:

$x=0$

ומהמשוואה השנייה מקבלים:

$-2(y-1)=0$

$-2y+2=0$

$2=2y$

$1=y$

קיבלנו נקודה אחת מועמדת לקיצון – הנקודה (0,1). נבדוק אם היא נקודת מינימום, מקסימום או אוכף. לשם כך, נחשב את הנגזרות השניות:

$A=z''_{xx}(x,y)=2$

$B=z''_{xy}(x,y)=z''_yx(x,y)=0$

$C=z''_{yy}(x,y)=-2$

כעת, נחשב את סוג הנקודה לפי הנוסחה:

$D=AC-B^2$

נציב את הנגזרות בנוסחה:

$D=2\cdot (-2)-0^2=-4<0$

קיבלנו D שלילי לכל x,y, בפרט בנקודה שמצאנו, כלומר מתקיים:

$D(0,1)<0$

מכאן הנקודה (0,1) היא נקודת אוכף.

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות