תרגיל
מצאו את הערך המקסימלי ואת הערך המינימלי של הפונקציה:
z(x,y)=x-2y-3
בתחום:
D=\{ (x,y): 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1, 0\leq x+y\leq 1\}
תשובה סופית
פתרון מפורט
נתונה הפונקציה:
z(x,y)=x-2y-3
ראשית, נשרטט את התחום D. הוא נראה כך:
התחום D הוא המשולש המסומן בקווים אדומים.
שלב ראשון, נחפש נקודות חשודות לקיצון בתוך התחום D. אלה נקודות קיצון מקומיות. לכן, נחשב את הנגזרות החלקיות ונשווה אותן לאפס:
z'_x(x,y)=1=0
z'_y(x,y)=-2=0
קיבלנו מערכת משוואות:
1=0
-2=0
ולמערכת זו אין פתרון. לכן, לא קיבלנו בשלב זה נקודות חשודות לקיצון.
שלב שני, נחפש נקודות חשודות לקיצון על השפה של התחום D. נמצא את גבולות התחום על ידי שינוי כל אי-שוויון לשוויון ונקבל שאלה הגבולות של D:
x=0
x=1
y=0
y=1
x+y=0
x+y=1
מכיוון שהגבולות הם ישרים, נשתמש בשיטת ההצבה בכל הגבולות.
נבדוק את הגבול:
x=0
נציב אותו בפונקציה ונקבל:
z(0,y)=0-2y-3=-2y-3
מכיוון שקבענו את x להיות 0, קיבלנו פונקציה במשתנה אחד – y. נגזור לפי y ונשווה לאפס:
z'_y(0,y)=-2=0
קיבלנו משוואה שאין לה פתרון, כלומר אין נקודות חשודות לקיצון.
נבדוק את הגבול:
x=1
נציב אותו בפונקציה ונקבל:
z(1,y)=1-2y-3
מכיוון שקבענו את x להיות 1, קיבלנו פונקציה במשתנה אחד – y. נגזור לפי y ונשווה לאפס:
z'_y(1,y)=-2=0
קיבלנו משוואה שאין לה פתרון, כלומר אין נקודות חשודות לקיצון.
נבדוק את הגבול:
y=0
נציב אותו בפונקציה ונקבל:
z(x,0)=x-0-3=x-3
מכיוון שקבענו את y להיות 0, קיבלנו פונקציה במשתנה אחד – x. נגזור לפי x ונשווה לאפס:
z'_x(x,0)=1=0
קיבלנו משוואה שאין לה פתרון, כלומר אין נקודות חשודות לקיצון.
נבדוק את הגבול:
y=1
נציב אותו בפונקציה ונקבל:
z(x,0)=x-2\cdot 1-3=x-5
מכיוון שקבענו את y להיות 1, קיבלנו פונקציה במשתנה אחד – x. נגזור לפי x ונשווה לאפס:
z'_x(x,1)=1=0
קיבלנו משוואה שאין לה פתרון, כלומר אין נקודות חשודות לקיצון.
נבדוק את הגבול:
x+y=0
נבודד משתנה במשוואת הגבול:
y=-x
ונציב אותו בפונקציה:
z(x,-x)=x-2\cdot (-x)-3=x+2x-3=3x-3
אחרי ההצבה קיבלנו פונקציה במשתנה אחד – x. נגזור לפי x ונשווה לאפס:
z'_x(x,1)=3=0
קיבלנו משוואה שאין לה פתרון, כלומר אין נקודות חשודות לקיצון.
נבדוק את הגבול:
x+y=1
נבודד משתנה במשוואת הגבול:
y=1-x
ונציב אותו בפונקציה:
z(x,1-x)=x-2\cdot (1-x)-3=x-2+2x-3=3x-5
אחרי ההצבה קיבלנו פונקציה במשתנה אחד – x. נגזור לפי x ונשווה לאפס:
z'_x(x,1-x)=3=0
קיבלנו משוואה שאין לה פתרון, כלומר אין נקודות חשודות לקיצון.
לסיכום, בשלב השני לא קיבלנו נקודות חשודות לקיצון.
שלב שלישי, נחפש נקודות חשודות לקיצון בקצוות, כלומר בחיבורים בין גבולות התחום D. אפשר לראות מהשרטוט שמקבלים את הנקודות האלה:
(0,0),(0,1),(1,0)
שלב סופי, ניקח את כל הנקודות החשודות שמצאנו ושנמצאות בתחום D ונציב אותן בפונקציה:
z(0,0)=0-2\cdot 0-3=-3
z(0,1)=0-2\cdot 1-3=-5
z(1,0)=1-2\cdot 0-3=-2
הערך הגבוה ביותר הוא הערך המקסימלי:
\max_D z(x,y) = -2
והערך הנמוך ביותר הוא הערך המינימלי:
\min_D z(x,y) =-5
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
