תרגיל
חשבו את האינטגרל:
\int\int\int_T (2x-y+3z)dxdydz
כאשר T חסום על ידי המשטחים:
x=0,x=1,y=0,y=2,z=0,z=3
תשובה סופית
פתרון מפורט
נציב את גבולות האינטגרציה באינטגרל ונקבל:
\int\int\int_T (2x-y+3z)dxdydz=
=\int_0^1 dx\int_0^2 dy\int_0^3 (2x-y+3z)dz=
נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר) לפי z ונקבל:
=\int_0^1 dx\int_0^2 [2xz-yz+3\frac{z^2}{2}]_0^3 dy=
נציב את גבולות האינטגרציה במקום z:
=\int_0^1 dx\int_0^2 [(2x\cdot 3-y\cdot 3+3\cdot\frac{3^2}{2})-(2x\cdot 0-y\cdot 0+3\cdot\frac{0^2}{2})] dy=
=\int_0^1 dx\int_0^2 (6x-3y+\frac{27}{2}) dy=
שוב, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר), הפעם לפי y, ונקבל:
=\int_0^1 [6xy-3\cdot\frac{y^2}{2}+\frac{27}{2}y]_0^2 dx=
נציב את גבולות האינטגרציה במקום y:
=\int_0^1 [(6x\cdot 2-3\cdot\frac{2^2}{2}+\frac{27}{2}\cdot 2)-(6x\cdot 0-3\cdot\frac{0^2}{2}+\frac{27}{2}\cdot 0)] dx=
=\int_0^1 (12x-6+27) dx=
=\int_0^1 (12x+21) dx=
הגענו לאינטגרל מסוים במשתנה אחד – x. נפתור אותו:
=[12\cdot \frac{x^2}{2}+21x]_0^1=
נציב את גבולות האינטגרציה:
=(12\cdot \frac{1^2}{2}+21\cdot 1)-(12\cdot \frac{0^2}{2}+21\cdot 0)=
=6+21=
=27
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
