רציפות של פונקציה – בדיקת רציפות – תרגיל 5871

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

$f(x) = \begin{cases} x^2-3, &\quad x\geq 2\\ \frac{x}{2}, &\quad x < 2\\ \end{cases}$

האם היא רציפה?

תשובה סופית

הצגת תשובה סופית

פתרון מפורט

הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:

$x=2$

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

$\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} f(x)$

כאשר x שואף ל-2 מימין, x קרוב ל-2, אך גדול ממנו (למשל, 2.00000001) ושם מתקיים:

$f(x) = x^2-3$

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

$\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} f(x)=$

$=\lim _ { x \rightarrow 2^{+}}x^2-3=$

נציב ונקבל:

$=2^2-3=1$

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

$\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} f(x)$

כאשר x שואף ל-2 משמאל, x קרוב ל-2, אך קטן ממנו (למשל, 1.99999) ושם מתקיים:

$f(x) =\frac{x}{2}$

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

$\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} f(x)=$

$=\lim _ { x \rightarrow 2^{-}}\frac{x}{2}=$

נציב ונקבל:

$=\frac{2}{2}=1$

כמו כן, הפונקציה מוגדרת בנקודה ומתקיים:

$f(2)=2^2-3=1$

קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים סופיים ושווים אחד לשני ושניהם שווים לערך הפונקציה בנקודה. מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה רציפה בנקודה x=2. מכיוון שהיא רציפה גם בכל נקודה אחרת, מקבלים שהפונקציה רציפה לכל x.

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות