חישוב גבול של פונקציה – מנה של פולינומים בשאיפה לאינסוף – תרגיל 6026

תרגיל 

חשבו את הגבול:

$\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{999x}{x^2+1}$

תשובה סופית

הצגת תשובה סופית

פתרון מפורט

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

$x =\infty$

ונקבל:

$\frac{999\cdot\infty}{\infty^2+1}$

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

יש לנו מנה של פולינומים בשאיפה לאינסוף. במצב כזה, נחלק את המונה ואת המכנה בחזקה הגבוהה ביותר, ללא המקדם. נקבל:

$\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{999x}{x^2+1}=$

$=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{999x}{x^2}}{\frac{x^2+1}{x^2}}=$

$=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{999}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}=$

נציב אינסוף ונקבל:

$= \frac{\frac{999}{\infty}}{1+\frac{1}{\infty^2}}=$

$=\frac{0}{1+0}=$

$=\frac{0}{1}=$

$=0$

הערה: מספר סופי חלקֵי מספר השואף לאינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה, לחצו כאן.

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות