תרגיל
חשבו את הגבול:
\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{(x-1){(2x+3)}^3}{{(5x-1)}^4}
תשובה סופית
פתרון מפורט
דבר ראשון, נציב בפונקציה:
x = \infty
ונקבל:
\frac{(\infty-1){(2\cdot\infty+3)}^3}{{(5\cdot\infty-1)}^4}
קיבלנו “אינסוף חלקֵי אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.
טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “אינסוף חלקֵי אינסוף” ו-x שואף לאינסוף, נחלק את המונה ואת המכנה בביטוי ששואף הכי מהר לאינסוף, ללא המקדם שלו. בפולינום זה האיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר.
נחלק את המונה ואת המכנה באיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר, ללא המקדם:
x^4
ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{(x-1){(2x+3)}^3}{{(5x-1)}^4}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{(x-1){(2x+3)}^3}{x^4}}{\frac{{(5x-1)}^4}{x^4}}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{(x-1){(2x+3)}^3}{x\cdot x^3}}{\frac{{(5x-1)}^4}{x^4}}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x-1}{x}\cdot\frac{{(2x+3)}^3}{x^3}}{\frac{{(5x-1)}^4}{x^4}}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x-1}{x}\cdot{(\frac{2x+3}{x})}^3}{{(\frac{5x-1}{x})}^4}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{(1-\frac{1}{x})\cdot{(2+\frac{3}{x})}^3}{{(5-\frac{1}{x})}^4}=
מכיוון ש-x שואף לאינסוף, מתקיים:
\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0
\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{3}{x}=0
הערה: מספר סופי חלקֵי אינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה, לחצו כאן.
לכן, בהצבת
x = \infty
נקבל הפעם:
=\frac{(1-0)\cdot{(2+0)}^3}{{(5-0)}^4}=
=\frac{2^3}{5^4}
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
