תרגיל
נתון שפונקציה:
z(x,y)=\ln\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}
גזירה. הוכיחו שמתקיים:
z''_{xx}+z''_{yy}=0
פתרון מפורט
נחשב את הנגזרת החלקיות של z:
z'_x=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}\cdot\frac{-1}{{(\sqrt{x^2+y^2})}^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (2x)=
=\sqrt{x^2+y^2}\cdot\frac{-x}{x^2+y^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=
=\frac{-x}{x^2+y^2}
z'_y=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}\cdot\frac{-1}{{(\sqrt{x^2+y^2})}^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (2y)=
=\sqrt{x^2+y^2}\cdot\frac{-y}{x^2+y^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=
=\frac{-y}{x^2+y^2}
נחשב את הנגזרות השניות שמופיעות במשוואה שצריך להוכיח:
z''_{xx}=\frac{-(x^2+y^2)+x\cdot 2x}{{(x^2+y^2)}^2}=
=\frac{x^2-y^2}{{(x^2+y^2)}^2}
z''_{yy}=\frac{-(x^2+y^2)+y\cdot 2y}{{(x^2+y^2)}^2}=
=\frac{y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}
נציב את הנגזרות במשוואה שצריך להוכיח:
z''_{xx}+z''_{yy}=
=\frac{x^2-y^2}{{(x^2+y^2)}^2}+\frac{y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}=
=\frac{x^2-y^2+y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}=
=\frac{0}{{(x^2+y^2)}^2}=
=0
כנדרש.
מ.ש.ל.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
