הירשמו לצפיה ב-1000 פתרונות מפורטים

כלל שרשרת במספר משתנים – הוכחת משוואה עם נגזרות חלקיות – תרגיל 6465

תרגיל 

נתון שפונקציה:

z(x,y)=ln⁡1x2+y2z(x,y)=\ln\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}

גזירה. הוכיחו שמתקיים:

zxx′′+zyy′′=0z''_{xx}+z''_{yy}=0

פתרון מפורט

נחשב את הנגזרת החלקיות של z:

zx′=11x2+y2⋅−1(x2+y2)2⋅12x2+y2⋅(2x)=z'_x=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}\cdot\frac{-1}{{(\sqrt{x^2+y^2})}^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (2x)=

=x2+y2⋅−xx2+y2⋅1x2+y2==\sqrt{x^2+y^2}\cdot\frac{-x}{x^2+y^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=

=−xx2+y2=\frac{-x}{x^2+y^2}

zy′=11x2+y2⋅−1(x2+y2)2⋅12x2+y2⋅(2y)=z'_y=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}\cdot\frac{-1}{{(\sqrt{x^2+y^2})}^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (2y)=

=x2+y2⋅−yx2+y2⋅1x2+y2==\sqrt{x^2+y^2}\cdot\frac{-y}{x^2+y^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=

=−yx2+y2=\frac{-y}{x^2+y^2}

נחשב את הנגזרות השניות שמופיעות במשוואה שצריך להוכיח:

zxx′′=−(x2+y2)+x⋅2x(x2+y2)2=z''_{xx}=\frac{-(x^2+y^2)+x\cdot 2x}{{(x^2+y^2)}^2}=

=x2−y2(x2+y2)2=\frac{x^2-y^2}{{(x^2+y^2)}^2}

zyy′′=−(x2+y2)+y⋅2y(x2+y2)2=z''_{yy}=\frac{-(x^2+y^2)+y\cdot 2y}{{(x^2+y^2)}^2}=

=y2−x2(x2+y2)2=\frac{y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}

נציב את הנגזרות במשוואה שצריך להוכיח:

zxx′′+zyy′′=z''_{xx}+z''_{yy}=

=x2−y2(x2+y2)2+y2−x2(x2+y2)2==\frac{x^2-y^2}{{(x^2+y^2)}^2}+\frac{y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}=

=x2−y2+y2−x2(x2+y2)2==\frac{x^2-y^2+y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}=

=0(x2+y2)2==\frac{0}{{(x^2+y^2)}^2}=

=0=0

כנדרש.

מ.ש.ל.

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו
תגיות:

כתיבת תגובה