תרגיל
בטאו את המספר 10 כסכום שני מספרים אי-שליליים שמכפלתם גדולה ככל האפשר.
תשובה סופית
פתרון מפורט
אנו מחפשים מכפלה מקסימלית, לכן נבנה פונקציה שתבטא את המכפלה. נסמן ב-x מספר אחד במכפלה ונקבל את הפונקציה:
y=x(10-x)=10x-x^2
כאשר מתקיים:
0\leq x\leq 10
רוצים למצוא מקסימום מוחלט לפונקציה בקטע זה. הנקודות החשודות לקיצון מוחלט הן נקודות קיצון מקומי בקטע וקצות הקטע. נחפש נקודות קיצון מקומי בקטע. לשם כך, נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס:
y'=10-2x=0
נפתור את המשוואה:
10=2x
x=5
קיבלנו נקודה חשודה לקיצון מוחלט, והיא בתחום. נציב את הנקודה בפונקציה:
y(5)=5(10-5)=25
נבדוק את קצות הקטע. נציב אותם בפונקציה ונקבל:
y(0)=0(10-0)=0
y(10)=10(10-10)=0
מכאן, ערך מקסימלי לפונקציה מתקבל בנקודה x=5. הסכום של מספר זה עם המספר השני צריך להיות 10. לכן, המספר השני הוא גם כן 5.
אם רוצים לוודא שזו נקודת מקסימום (ולא מינימום), נגזור שוב:
y''=-2<0
מכיוון שהנגזרת השנייה יצאה שלילית (לכל x, ולכן גם בנקודה שלנו) – הנקודה היא נקודת מקסימום.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
